Mathematik an der Universität Göttingen

Hans-Wilhelm Burmann, Stefan Krämer, Samuel J. Patterson

Die Sammlung mathematischer Modelle und Instrumente des Mathematischen Instituts

Aus: «Ganz für das Studium angelegt»: Die Museen, Sammlungen und Gärten der Universität Göttingen
Hg. von Dietrich Hoffmann und Kathrin Maack-Rheinländer i.A. des Universitätsbundes.
© Wallstein Verlag, Göttingen 2001, 175-181.
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Einen Würfel oder einen Tetraeder kann man sich noch ganz gut vorstellen, aber wie sieht ein Dodekaeder aus? Ein Dodekaeder wird von 12 Seitenflächen begrenzt, welche regelmäßige Fünfecke sind: sich ein Bild davon zu machen stellt schon höhere Ansprüche an das geometrische Vorstellungsvermögen. Es ist ratsam, ein Modell vorzuführen. So wird es auch schon Abraham Gotthelf Kästner (1712-1800) gemacht haben, der in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts an der Universität Göttingen neben der Mathematik auch noch viele andere Gebiete von der Astronomie bis zur Literatur vertreten hat. Die ältesten Stücke in der Modellsammlung des Mathematischen Instituts stammen jedenfalls aus der Zeit Kästners, es sind Kartonmodelle von Polyedern, unter denen auch das Dodekaeder zu finden ist

Mit den Fortschritten in Naturwissenschaft und Technik wuchs der Bedarf an Demonstrationsmaterial im mathematischen Unterricht. Neue, aufregende Entdeckungen, wie etwa der Clebschen Diagonalfläche, zu der weiter unten einiges gesagt wird, weckten das Interesse für geometrische Modelle auch seitens der Forschung. Damit brach um die Mitte des 19. Jahrhunderts die Blütezeit der mathematischen Modellsammlungen an.

Zum Aufbau dieser Sammlungen wurden an vielen Hochschulen Modellierkabinette eingerichtet, in denen zunächst die benötigten Modelle in Eigenarbeit hergestellt wurden, wozu neben mathematischen Kenntnissen auch erhebliches handwerkliches Geschick erforderlich war. Mit steigenden Ansprüchen an Ausführung und Anzahl der Modelle verlagerte sich die Herstellung auf gewerbliche Betriebe. In Ausstellungen, meistens anläßlich Mathematikerkongressen, wurden die Erzeugnisse präsentiert und neue Techniken vorgeführt.

Die alte Göttinger Modell- und Maschinenkammer, die seit Gründung der Universität bestand, war eher technisch ausgerichtet, sie enthielt beispielsweise außer Modellen technischer Anlagen, wie der Londoner Themsebrücke, auch Rüstungen und Waffen. Aus ihr ging 1881 die Sammlung mathematischer Instrumente und Modelle hervor, die unter Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) mit Hilfe beträchtlicher Zuschüsse nach und nach modernisiert wurde, wobei auch ein Zeichensaal für die Studenten eingerichtet wurde. Um Platz zu schaffen, wurden dabei immer wieder Objekte an andere Institute abgegeben, aber auch in private Hände.

Nach dem Weggang von Schwarz übernahm 1886 Felix Klein (1849-1925) die Leitung der Sammlung. Sein Engagement für einen anschauungs- und anwendungsorientierten Unterricht trug wesentlich zur Verbreitung von Modellsammlungen bei. Beim Aufbau solcher Sammlungen an seinen früheren Wirkungsstätten Erlangen, München und Leipzig hat er entscheidend mitgewirkt. Mit Geldern der Regierung, der von ihm 1898 mitgegründeten Göttinger Vereinigung der angewandten Physik und Mathematik und von privaten Firmen in der Gesamthöhe von 10.000 Mark wurde die Göttinger Sammlung um Modelle zur Darstellenden Geometrie und geodätische Instrumente erweitert und im Auditorium Projektionsmöglichkeiten für Dias geschaffen. Zur Betreuung dieser Einrichtungen erhielt er sogar einen Assistenten.

Aufbau und Unterhalt einer Modellsammlung erforderte beachtliche Mittel. In einem Katalog aus den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts wurde z.B. eine Serie von sieben Kartonmodellen von Flächen zweiter Ordnung für 16 Mark angeboten, entsprechendes in Gips für 35 Mark, eine Serie von zwei unbeweglichen und drei beweglichen Fadenmodellen kosteten sogar 270 Mark. Zum Vergleich: Viele mathematische Lehrbücher waren damals unter fünf Mark zu haben, der Preis überstieg selten zehn Mark.

Ganz zu Anfang befand sich die Sammlung im Akademischen Museum, wo auch noch andere Sammlungen untergebracht waren. Nach Fertigstellung des Auditoriengebäudes 1865 wurde dort die Sammlung in einem großen Saal aufgestellt. Steigende Studentenzahlen ab 1895 erzwangen es, Teile der Sammlung in die Hospitalstraße 12, der früheren Wohnung des Direktors der Frauenklinik zu verlegen.

In die Bauplanung des Mathematischen Instituts wurde die Modellsammlung von vornherein einbezogen, seit der Fertigstellung im Jahre 1929 ist die Sammlung in dem Gebäude in der Bunsenstraße untergebracht. Der Bestand umfasst etwa 540 Exponate, die in 63 Vitrinen ausgestellt sind. Die Mehrzahl der Modelle veranschaulichen naturgemäß geometrische Sachverhalte, besonders solche, die im Zeitraum 1890-1910 im Mittelpunkt des Interesses lagen. Sie stellen ein weites Spektrum der Geometrie dar - Algebraische Geometrie, Differentialgeometrie, Kristallographie, Kurventheorie, geometrische Funktionentheorie u.v.m. Die ältesten Stücke stammen, wie schon erwähnt, von Kästner; sie sind aus Karton, und ihre Bedeutung ist nicht immer klar. Ein Modell zur Kristallographie trägt den Vermerk «Born fec. Jan, 1905». Die jüngsten Modelle (um 1930) stammen von Stefan Cohn-Vossen (zur Biegsamkeit von Polyedern) und von Heinrich Heesch (zu dünnen Kugelpackungen des Raums, die z.B. für die Tatsache verantwortlich sind, dass Eis mehr Raum einnimmt als Wasser). Heesch (1906-1994), der später eine Professur in Hannover bekleidete, war wesentlich an der Lösung des Vierfarbenproblems beteiligt. Zwischen diesen Polen liegt die Geometrie von 150 Jahren in ihrer Vielfalt.

Beschreibungen mathematischer Modelle und Geräte findet man in dem immer noch lesenswerten Buch Anschauliche Geometrie von David Hilbert (1862-1943) und Cohn-Vossen (1902-1936), einer von Cohn-Vossen ausgearbeiteten Vorlesung Hilberts aus den Jahren 1920/21. Verwiesen sei auch auf den 1986 erschienenen Bildband von Gerd Fischer Mathematische Modelle, der zu einem großen Anteil Bilder von Göttinger Modellen enthält, samt erläuternden Kommentaren in einem zweiten Band. Hier stellen wir einige ausgewählte Stücke vor.

Abbildung 1 zeigt eine Kopie des Apoll von Belvedere, die Felix Klein verwendet hat, um zu untersuchen, ob es einen Zusammenhang zwischen mathematischen Eigenschaften einer Fläche und ihrem ästhetischen Reiz besteht. Die Kurven zeigen die Punkte, wo die Gaußsche Krummung verschwindet. Hilbert schreibt dazu, «Die pababolischen Kurven sind von F. Klein zu einer eigenartigen Untersuchung herangezogen worden. Er nahm an, dass die künstlerische Schönheit eines Gesichtes ihren Grund in gewissen mathematischen Beziehungen hätte, und ließ deshalb, auf dem Apollo von Belvedere, dessen Gesichtszüge uns einen besonderen hohen Grad von klassischer Schönheit wiedergeben, die sämtlichen parabolischen Kurven einzeichnen. Diese Kurven besaßen aber weder eine besondes einfache Gestalt, noch ließ sich ein allgemeines Gesetz ausfindig machen, dem sie gehorchten.»

Das in Abbildung 2 gezeigte Modell Nr. 135 ist die sogenannte Clebsche Diagonalfläche. Seit René Descartes (1596-1650) beschreiben Mathematiker geometrische Gebilde durch algebraische Gleichungen. Die Methode ist sehr systematisch, hat aber den Nachteil, dass es schwierig werden kann, die Gebilde zu visualisieren. Bei Kurven kam der Durchbruch im Jahre 1826 durch Niels Henrik Abel (1803-1829) in einer Arbeit, die erst 1841 veröffentlicht wurde. Abel hat sich mit dem Problem der Integration algebraischer Funktionen beschäftigt. Aus diesem analytischen Problem entwickelte Abel Ideen, die zur Beschreibung von algebraischen Kurven führten und die Mathematiker in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschäftigt haben. Bei Flächen, also zweidimensionalen Gebilden, lief die Geschichte anders. Es begann mit einem Briefwechsel zwischen Arthur Cayley (1821-1895) in Cambridge und George Salmon (1819-1904) in Dublin, in dem sie festgestellt haben, dass auf einer durch eine kubische Gleichung definierten glatten Fläche immer genau 27 Geraden zu finden sind.

Es war schon bekannt, dass manche Flächen unendliche viele Geraden enthalten, z.B. das in Abbildung 3 gezeigte einschalige Hyperboloid; man kann solche Flächen auch erzeugen, indem man eine Gerade durch den Raum bewegt, auf diese Weise entstehen die sogenannten Regelfächen.

Dass es bei den kubischen Flächen eine feste Anzahl geben könnte, und hier 27, war überraschend. Die abgebildete Fläche ist eine besonders symmetrische, die von Alfred Clebsch (1833-1872) entdeckt wurde. Clebsch, der die Nachfolge von Bernhard Riemann (1826-1866) in Göttingen innehatte, war ein brillanter Vertreter der neuen „Algebraischen Geometrie“; er starb 1872 im Alter von 39 Jahren an Diphterie. Die 27 Geraden sind eingezeichnet. Sehr anschaulich wird auch die Topologie der Fläche, die durch die Durchgänge bestimmt wird, solche Aspekte erhielten überragende Bedeutung für die Algebraische Geometrie im 20. Jahrhundert. Diese anmutige Fläche fasziniert nicht nur durch ihre mathematische Bedeutung, sondern auch durch ihre Schönheit. Anlässlich des 150. Geburtstages von Felix Klein im Jahre 1999 ist eine 2,50m hohe Plastik der Clebschen Diagonalfläche angefertigt und in der Düsseldorfer Universität aufgestellt worden.

In der Mathematik untersucht man oft Objekte in der Weise, dass man die Gesamtheit als ein neues Objekt auffasst. In der Geometrie hat man im neunzehnten Jahrhundert angefangen, die Gesamtheit aller Geraden in der Ebene als Objekt zu betrachten, eine Sichtweise, die aus der Perspektivlehre in der Malerei und dem Technischen Zeichnen hervorgegeangen ist. Die Gesamtheit aller Geraden, zusammen mit einer zusätzlichen „idealen“ Gerade heißt die projektive Ebene. Hilbert hat vermutet, dass die projektive Ebene, die zweidimensional ist, nicht in den dreidimensionalen Raum eingebettet werden könnte. Sein Schüler Werner Boy hat in seiner von Hilbert betreuten Doktorarbeit gezeigt, dass die Hilbertsche Vermutung falsch war. Das Modell war der wesentliche Inhalt der Boyschen Dissertation (Abb. 4).

Neben den geometrischen Modellen gibt es eine kleinere Anzahl - etwa 65 - von mathematischen Geräten. Die meisten stammen aus der gleichen Zeit wie die Modelle, obwohl es auch hier einige ältere gibt, z.B. drei Proportionalzirkel, eine Art universelles Rechengerät, aus der Zeit um 1800. Anscheinend wurden viele der Geräte für die Praxis angeschafft; allerdings geht aus manchen Vermerken hervor, dass sie nicht so gut wie erwartet funktionierten. Eine Brunsviga Rechenmaschine, die früher im Doktorandenzimmer stand, besitzt eine Patina, die von jahrelangem Gebrauch zeugt. Auch in Göttingen hat die abstrakte Mathematik ihre Wurzeln in konkreten Problemen. Im 19. Jahrhundert hatten die technischen und industriellen Entwicklungen zu einem massiven Bedarf an Methoden geführt, Rechnungen überhaupt durchführen zu können oder sie schnell und effizient zu bewältigen. Als Antwort darauf wurde gegen Ende des Jahrhunderts eine Reihe von Instrumenten entwickelt, von denen manche z.B. Rechenschieber, Planimeter, Rechenmaschinen in vielen Bereichen Verwendung fanden. Später wurden sie dann durch die elektronischen Rechner abgelöst. Die Sammlung spiegelt die Vielfalt der Ideen wieder, die vor 100 Jahren im Umlauf waren.

Ein Meisterstück Schweizer Feinmechanik ist der Harmonische Analysator von Coradi-Henrici, entworfen ca. 1895 von Max Küntzel aus der Werkstatt Coradi (Abb. 5). Grundlage war eine Konzeption, die von dem in London wirkenden Mathematiker Olaus Henrici stammte. Das Gerät soll das Problem lösen, eine beliebige periodische Funktion in einer Zusammensetzung von Sinus- und Cosinusfunktionen darzustellen in einer sogenannten Fourierreihe. Die grundlegende Idee ist sehr alt und geht anscheinend auf Eudoxos von Knidos (408-355 v. Chr.) zurück. Nach einem Bericht von Simplikios (um 500-549 n. Chr.) hat Eudoxos in Beantwortung einer Frage von Platon beschrieben, wie die irregulären Planetenbahnen durch regelmäßige Kreisbewegungen dargestellt werden können. Seine oft belächelte Theorie der Epizyklen war in der Tat seiner Zeit um zwei Jahrtausende voraus. Die formelle Begründung wurde in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts durch Jean Baptiste Joseph Fourier, Peter Lejeune-Dirichlet und Riemann gegeben. Sie wurde dann in der zweiten Hälfte des Jahrhunderts vielseitig eingesetzt. Ein Beispiel war die Vorhersage der Gezeiten. Für ein maritimes Land wie Großbritannien war dies von hervorragender Bedeutung und kein geringerer als Lord Kelvin (urspr. William Thomson, 1824-1907) hat schon 1867 ein sehr kompliziertes, aber geistreiches Gerät zum Zweck der harmonischen Synthese konstruiert. In diesem Umfeld entstand der Bedarf nach Geräten zur harmonischen Analyse. Der erste richtige Analysator stammte ebenfalls von Lord Kelvin im Jahre 1878; ein wesentlicher Teil war der von seinem Bruder James Thomson (1822-1892) erfundenen Integriermechanismus, der hier in dem abgebildeten Gerät als Glaskugel zu erkennen ist.

Dieses Gerät und alle anderen, die damals erfunden wurden, waren relativ schwierig zu bedienen. Erst mit der Entwicklung der elektronischen Rechner in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts eröffneten sich völlig neue Möglichkeiten. 1965 haben James William Cooley aund John Wilder Tukey einen besonders effizienten Algeorithmus erfunden, der jetzt als FFT (Fast Fourier Transform = schnelle Fouriertransformation) bekannt ist. Dieser Algorithmus ist wahrscheinlich der am häufigsten angewandte Algorithmus jenseits der arithmetischen Grundoperationen; die Anwendungen liegen nicht nur in den klassischen Bereichen, sondern auch in der Medizin und Musik. Merkwürdigerweise hat es sich herausgestellt, dass Carl Friedrich Gauß (1777-1855) schon 1805 die Idee zu diesem Algorithmus gehabt hat. Er erwähnt ihn in einer Zeile in seinem Mathematischen Tagebuch, Theoriam interpolationis ulterius excoluimus, 1805, Novbr. Wie so oft kam Gauß nicht dazu, seine Ideen zu veröffentlichen, auch wenn sie noch so bedeutend und zukunftsträchtig waren.

Neben den Modellen und Instrumenten gibt es noch 695 Glasdias im Format 9×12 cm, die zusammen mit den Negativen in 22 Holzkästen aufbewahrt sind. Es sind Dias zu ganz unterschiedlichen mathematischen Gebieten vorhanden wie Perspektivlehre, spezielle Funktionen, Kurven, mathematische Modelle und Instrumente, Rechenmaschinen; aber auch zu anderen Gebieten wie Technische Mechanik, Flugapparate, technische Anlagen, Landwirtschaft, Photographie, babylonische Keilschrifttafeln, Kunstgeschichte und Archäologie.

Nach dem ersten Weltkrieg erlosch allmählich das Interesse an mathematischen Modellen. Wirtschaftliche Gründe mögen dazu beigetragen haben, entscheidend aber dürfte die gewandelte Ausrichtung der Mathematik gewesen sein, die mehr auf Allgemeinheit, Abstraktion und Axiomatik zielte. Geometrie wurde in höherdimensionalen Räumen betrieben, anschauliche Modelle rückten in den Hintergrund. Das ist durchaus wörtlich zu verstehen, vielerorts verschwanden sie in einer Rumpelkammer, wo sie Schaden nahmen und teilweise aussortiert wurden. An den früheren Wirkungsstätten von Klein, in Erlangen und Leipzig befinden sich die Sammlungen in einem traurigen Zustand und sind nicht zugänglich.

Dass der Göttinger Sammlung ein besseres Schicksal beschieden war, ist einigen glücklichen Umständen zu verdanken. Richard Courant (1888-1972), einer der Nachfolger Felix Kleins, war treibende Kraft bei der Gründung des Mathematischen Instituts, dass aus dem Mathematisch-Physikalischen Seminar, dem Mathematischen Lesezimmer und der Sammlung mathematischer Instrumente und Modelle hervorging. Courant war es auch, der die Idee eines Institutsbaus wieder in Angriff nahm. Pläne dafür waren schon unter Klein weit gediehen, die Realisierung hatte aber der Krieg verhindert. Mit Geldern der Rockefeller-Stiftung gelang Courant der Bau des Mathematischen Instituts; es wurde 1929 eingeweiht. Maßgeblich beteiligt bei der Planung des Baus war der damalige Assistent Courants, Otto Neugebauer (1899-1990), der als Mathematikhistoriker durch seine Forschungen zur Mathematik der Babylonier bekannt wurde. Seine Konzeption sah etwa sechzig von ihm selbst entworfene, luftdichte Vitrinen vor, in denen die rund 500-600 Modelle und Instrumente auf Dauer ausgestellt wurden. Seitdem kann man den größten Teil der Sammlung, deren Bestand sich in der Zwischenzeit kaum verändert hat, in den Neugebauerschen Vitrinen bewundern.

In den letzten 20 Jahren scheint man sich wieder etwas stärker mit mathematischen Modellen zu beschäftigen, ein Indiz dafür ist der oben erwähnte Bildband von Fischer. Es mag sein, daß dies wiedererwachte Interesse zu einem guten Teil historisch motiviert ist, aber als Stützen des geometrischen Vorstellungsvermögens haben die Modelle ihren Wert nicht eingebüßt. Völlig neue, aufregende Möglichkeiten, geometrische Sachverhalte zu visualisieren, ergeben sich durch Methoden der Computergraphik. Dagegen sind die mathematischen Instrumente von den elektronischen Rechnern fast völlig verdrängt worden.