
Aufgabe 1
Bei Familie Lösche wird Ästhetik groß geschrieben: Man versucht, die vier
Kerzen am Adventskranz möglichst gleichmäßig niederzubrennen; am schönsten
ist es, wenn sie am Heiligen Abend alle gleich weit heruntergebrannt
sind.
Wie üblich wird am ersten Advent genau eine Kerze angezündet, am zweiten
Advent werden genau zwei, am dritten Advent genau drei und am vierten Advent
werden alle vier Kerzen angezündet und jede angezündete Kerze brennt für
genau eine Stunde, bevor der Sohn der Familie sie auspusten darf.
Können die Lösches es schaffen, dass
die Kerzen zu Weihnachten alle gleich weit abgebrannt sind?
Wie sähe es aus, wenn es n Adventssonntage und dementsprechend n Kerzen gäbe?
Lösung:
Nein, Familie Lösche kann es nicht schaffen, dass die Kerzen zu Weihnachten alle gleich weit abgebrannt sind: Sei x die Länge, um die eine Kerze in einer Stunde herunterbrennt. Dann sind bis Weihnachten alle Kerzen zusammen um (1 + 2 + 3 + 4) . x = 10x heruntergebrannt. Da 10 nicht durch 4 teilbar ist, ist es nicht möglich, bis Weihnachten alle Kerzen gleichmäßig herunterzubrennen.
Bei n Adventssonntagen würden die Kerzen bis Weihnachten gemeinsam um
(1 + 2 +...+ n) . x = x herunterbrennen.
Damit überhaupt ein gleichmäßiges Herunterbrennen möglich ist, muss
folglich
durch n, die Anzahl der Kerzen, teilbar sein. Dies
ist genau dann der Fall, wenn n + 1 gerade, also n ungerade ist.
Und in der Tat reicht das schon für die Existenz einer solchen Möglichkeit
aus: Zum Beispiel kann man sich für
1
k
am k-ten
Advent beliebige k Kerzen aussuchen; wenn man dann am (n - k)-ten Advent
(also vom
-ten bis zum (n - 1)-ten Advent) genau diejenigen
Kerzen anzündet, die am k-ten Advent nicht leuchteten, sind am vorletzten
und damit auch am letzten Advent alle Kerzen gleich weit heruntergebrannt.
Aufgabe 2
Die Firma
,,Niko & Laus`` GmbH
hat eine tolle Geschäftsidee: Sie will rechteckige Adventskalender mit
ganzzahligen Seitenlängen (in Zentimetern)
herstellen, bei denen das n-te Türchen ebenfalls rechteckig mit
ganzzahligen Seitenlängen ist und genau den Flächeninhalt n cm2
hat. Dabei sollen die Türchenseiten parallel zu den Seiten des Kalenders
liegen.
Passt ein solcher Kalender auf ein Rechteck, dessen Seiten beide kürzer als 24 cm sind? Wenn ja, was ist die kleinstmögliche Fläche eines solchen Kalenders?
Hinweis: Die Türchen des Kalenders dürfen auch direkt aneinander oder auch direkt an den Rand des Kalenders stoßen.
Lösung:
Ein Beispiel für einen Kalender, dessen Seiten beide kürzer als 24 cm sind, ist der folgende:
![\includegraphics[]{loes49_2}](img5.png)
Dieser hat die Abmessungen 14 cm . 23 cm = 322 cm2. Dies ist
auch die kleinstmögliche Fläche für einen solchen Kalender. Denn um alle
Türchen unterzubringen, muss das Rechteck mindestens
1 + 2 + 3 + ... + 24 = = 300 cm2 groß sein. Da 23 eine Primzahl ist, hat
dieses Türchen die Abmessungen 1 . 23. Somit ist eine Seite des
Kalenders mindestens 23 cm lang. Da
23 . 13 < 300 ist, muss die andere
Seite entsprechend mindestens 14 cm lang sein. Der obige Kalender besitzt
also minimale Abmessungen.
Aufgabe 3
Auch der Weihnachtsmann denkt (öko-)logisch! Er will für Peter einen
Fußball mit Durchmesser 30 cm und sechs Tennisbälle mit Durchmesser von
je 8 cm in einer quaderförmigen Schachtel verpacken. Welches ist die
Schachtel mit der kleinsten Oberfläche, für die dies möglich ist?
Lösung:
Eine quaderförmige Schachtel, in die (zunächst nur) der Fußball hineinpassen soll, muss offenbar mindestens 30 cm hoch, breit und tief sein. Unter allen Schachteln, die diese Eigenschaft haben, ist die würfelförmige Schachtel mit Seitenlänge 30 cm diejenige mit der kleinsten Oberfläche.
Wir zeigen nun, dass in diese Schachtel zusätzlich zum Fußball auch noch bis zu acht der gegebenen Tennisbälle passen. Hierzu berechnen wir den Radius des größten Tennisballs, den man zusätzlich zum Fußball noch in eine Ecke des Würfels packen kann.
Wir berechnen also den Radius r einer Kugel, die drei an einer Ecke anstoßende Seitenflächen eines Würfels mit Seitenlänge a von innen und eine dem Würfel einbeschriebene Kugel von außen berührt.
![\includegraphics[width=5.5cm]{fussball3.eps}](img7.png)
![\includegraphics[width=7cm]{loes49_3}](img8.png)
Wie in der Abbildung angedeutet, gilt hierbei:














Also passt in der Tat in jede der acht Ecken des Würfels noch ein Tennisball mit Durchmesser 8 cm. Die gesuchte Schachtel ist daher die beschriebene würfelförmige und sie hat eine Oberfläche von 6 . (30 cm)2 = 5400 cm2.
Aufgabe 4
Denke dir eine natürliche Zahl n, wie zum Beispiel n = 12. Nun mache eine
Liste der Teiler von n, in unserem Fall also
1, 2, 3, 4, 6, 12. Anschließend bestimme für jeden dieser Teiler die Anzahl seiner Teiler
und schreibe diese Anzahlen in eine zweite Liste.
In unserem Beispiel hat 1
genau einen Teiler, 2 hat zwei Teiler, ebenso 3; 4 hat drei Teiler, 6
hat vier Teiler und 12 hat sechs Teiler. Unsere zweite Liste ist daher
1, 2, 2, 3, 4, 6. Zu guter Letzt addiere die Kuben dieser Zahlen, im Beispiel ergibt
das
13 + 23 + 23 + 33 + 43 + 63 = 324.
Zeige, dass das Ergebnis stets eine Quadratzahl ist!
Lösung:
Wir schreiben zunächst kurz
für die Anzahl der Teiler der
natürlichen Zahl n. Dann ist also zu zeigen, dass für alle natürlichen
Zahlen n die Zahl





Betrachten wir dazu zunächt einmal einen Spezialfall: Sei
n = pk, k 0, eine
Primzahlpotenz. Dann können wir zunächst recht einfach eine Liste aller
Teiler von n angeben, nämlich
1, p, p2,..., pk. Also ist
F(pk) = ![]() ![]() |
= | ![]() |
|
= | 13 + 23 + 33 +...+ (k + 1)3. |
Hier haben wir benutzt, dass ein Teiler der Form pt ganz entsprechend genau die t + 1 Teiler 1, p, p2,..., pt hat.
Letzteres ist nun eine bekannte Summe, die man aus dem Schulunterricht kennt oder in (den meisten) Formelsammlungen findet:



13 + 23 +...+ K3 + (K + 1)3 | = ![]() ![]() ![]() |
|
= (K + 1)2 . ![]() ![]() ![]() |
||
= ![]() ![]() ![]() |
Da der Term

Um nun die Aussage auch für allgemeine n zu beweisen, benutzen wir folgenden Begriff aus der Zahlentheorie: Eine Abbildung (Funktion) f, die jeder natürlichen Zahl eine andere natürliche Zahl zuordnet, heißt multiplikativ, wenn für jedes Paar teilerfremder Zahlen m, n gilt: f (m . n) = f (m) . f (n).
Wir wollen zeigen, dass unsere gesuchte Funktion F multiplikativ ist. Wenn
uns dies gelingt, dann sind wir fertig, denn jede natürliche Zahl n hat
eine eindeutige Primfaktorzerlegung der Form
n = p1k1 . p2k2 . ... . pk
mit verschiedenen Primzahlen p1
bis p
und es gilt dann
F(n) | = F(p1k1 . p2k2 . ... . p![]() ![]() |
|
= F(p1k1) . F(p2k2 . ... . p![]() ![]() |
||
= F(p1k1) . F(p2k2) . ... . F(p![]() ![]() |
||
= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
||
= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Das ist in jedem Fall eine Quadratzahl.
Es bleibt also die Multiplikativität von F zu zeigen.
Hierzu zeigen wir zwei kleine Hilfsaussagen über multiplikative Funktionen.
Hilfsaussage 1: Ist f multiplikativ, so ist auch f 3 multiplikativ, wobei f 3(n) = f (n)3 ist.
Beweis der Hilfsaussage 1: Dies ist nicht schwer: Es gilt für
teilerfremde m und n nämlich
f 3(m . n) = f (m . n)
= f (m)3 . f (n)3 = f 3(m) . f 3(n).
Hilfsaussage 2: Ist f multiplikativ, so ist auch
g(n) : = f (d ) multiplikativ.
Beweis der Hilfsaussage 2: Das ist schon etwas schwieriger. Es gilt aber wieder für teilerfremde Zahlen m und n:
g(m) . g(n) | = ![]() ![]() |
|
= ![]() |
||
= ![]() |
Letzteres folgt aus der Tatsache, dass f multiplikativ ist und für teilerfremde m und n auch jeder Teiler r von m und jeder Teiler s von n zueinander teilerfremd sind.
Ausserdem folgt aus der Teilerfremdheit von m und n, dass tatsächlich jeder Teiler von m . n eindeutig als Produkt eines Teilers r von m und eines Teilers s von n geschrieben werden kann1.
Deswegen tritt in der letzten Summe jeder Teiler t = rs von m . n genau einmal auf. Es ist also tatsächlich

Mit Hilfe dieser beiden Aussagen können wir nun die Multiplikativität von
F leicht zeigen. Zunächst ist die Funktion f (n) = 1, die allen n die Zahl
1 zuordnet, sicher multiplikativ. Also ist, nach Hilfsaussage 2, auch
=
1 multiplikativ, wegen Hilfsaussage 1 folgt dann
die
Multiplikativität von
und erneut mit Hilfsaussage 2 kann man dann auf
die Multiplikativität von
F(n) =
3 schließen.
Damit ist der Beweis vollständig erbracht.
Fußnoten
